Ecuación de la Parábola
Pues bien, una parábola es una forma geométrica. Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría ).
Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco , así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:
Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano) , y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto "P" (no confundir con el "parámetro p" ), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco "F" será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:
Información importante
El parámetro p (que marca la distancia focal) señala la distancia entre el foco y el vértice , que es igual a la distancia entre el vértice y la directriz .
Si en la ecuación de la parábola la incógnita x es la elevada al cuadrado , significa que la curvatura de la misma se abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo del parámetro p .
Cuando el parámetro p es positivo , la parábola se abre "hacia arriba" y cuando es negativo se abre "hacia abajo" .
Ahora, si en la ecuación de la parábola la incógnita y es la elevada al cuadrado , la curvatura de la misma será hacia la derecha o hacia la izquierda. En este caso, cuando el parámetro p es positivo , la parábola se abre "hacia la derecha" y cuando es negativo se abre "hacia la izquierda" .
Ejemplo
Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y que contiene al punto B(3, 4), además su eje de simetría (o eje focal) es paralelo al eje X.
Resolución:
El punto B (3, 4) nos indica que
X = 3
Y = 4
Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación
Entonces la ecuación será
