Ecuación de la Recta
La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano), La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta .
Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que sepan de su existencia pero expresada en términos matemáticos (como una ecuación).
Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado .
Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta.
Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano) , con abscisas (x) y ordenadas (y) .
Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación:
Ax + By + C = 0
Que también puede escribirse como:
ax + by + c = 0
Ejemplos
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10 .
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b .
Usamos la información que tenemos:
m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación
y = 3x + 10 .
La ecuación que se pide es y = 3x + 10 .
Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:
y - 3x - 10 = 0 , la cual amplificamos por -1, quedando como
- y + 3x + 10 = 0 , que luego ordenamos, para quedar
3x - y + 10 = 0
Ejemplo 2
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = - 5 .
Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b .
Usamos a información: m = - 5 y sustituimos en la ecuación:
y = - 5x + b
Ahora tenemos que buscar la b ; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2) , por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = - 5 (1) + b
Despejamos la variable b en:
2 = - 5 (1) + b
2 = - 5 + b
2 + 5 = b
b = 7
Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = - 5x + 7
La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = - 5x + 7 .
La cual también podemos expresar en su forma general:
y = - 5x + 7
y + 5x - 7 = 0
la cual ordenamos y queda:
5x + y - 7 = 0